Una distribución binomial con parámetros (n, p) da la probabilidad discreta de tener x éxitos de n ensayos, con la probabilidad de éxito p, asumiendo que cada ensayo es independiente y el resultado de un ensayo es un éxito o un fracaso. El número medio de éxitos de n ensayos es la media np y la varianza es np (1-p). El binomio pertenece a una familia de distribuciones relacionadas con eventos que incluyen el binomio negativo y la distribución de Bernoulli. Dado que la probabilidad de distribución binomial se calcula utilizando la función factorial, que se vuelve muy grande a medida que aumenta el número de ensayos, normalmente se utiliza la aproximación de distribución binomial de una distribución normal o de Poisson.
Por ejemplo, una moneda justa se lanza dos veces y un éxito se define como sacar cara. El número de intentos es n = 2 y la probabilidad de lanzar una cara es p = ½. Los resultados se pueden resumir en una tabla de distribución binomial: la probabilidad de no obtener caras, P (x = 0) es del 25%, la probabilidad de una cara, P (x = 1) es del 50% y la probabilidad de dos caras. P (x = 2) es 25%. El número esperado de caras lanzadas es np = 2 * 1/2 = 1. La varianza es np (1-p) = ½.
Otras distribuciones describen la probabilidad de eventos y pertenecen a la misma familia que el binomio. Una distribución de Bernoulli da la probabilidad de éxito de un solo evento y es equivalente a un binomio con n = 1. La distribución binomial negativa da la probabilidad de tener x fracasos, mientras que el binomio regular da la probabilidad de x éxitos.
A menudo se utiliza la función de densidad acumulativa de la distribución binomial, que da la probabilidad de tener xo menos éxitos en n ensayos. Calcular esta probabilidad es simple para una n pequeña, pero se vuelve tedioso a medida que n aumenta debido al coeficiente binomial. El coeficiente binomial se lee «n elige x», y se refiere al número de combinaciones que se pueden elegir x resultados de n posibilidades. Se calcula utilizando la función factorial. A medida que el número de intentos (n) supera los 70, n factorial se vuelve enorme y ya no se puede calcular en una calculadora estándar.
La aproximación de la distribución binomial cuando n se vuelve grande puede ser discreta o continua. Si n es muy grande y p es muy pequeño, entonces la distribución binomial se convierte en una distribución de Poisson discreta. Si n es lo suficientemente grande sin ninguna restricción sobre p, entonces se puede usar la aproximación de distribución normal binomial. La media binomial y la desviación estándar se convierten en los parámetros de la distribución normal y se aplica una corrección por continuidad al calcular la función de densidad acumulada.