Domaine sophistiqué de la philosophie qui examine la relation entre les mathématiques et la réalité, la philosophie des mathématiques examine également les hypothèses et les implications sous-jacentes des mathématiques. Parfois appelée philosophie mathématique, le terme «philosophie des mathématiques» est plus précis, car le terme précédent a d’autres significations, telles que la philosophie qu’un mathématicien particulier prend dans ses calculs. Ce n’est pas la même chose que d’examiner les fondements philosophiques sous-jacents des mathématiques.
La philosophie des mathématiques et les domaines connexes existent depuis des milliers d’années, au moins depuis la Grèce antique. Les adeptes de Pythagore — les pythagoriciens — pensaient profondément aux mathématiques et formaient même une sorte de culte autour d’elles. Ces anciens Grecs pensaient que les mathématiques étaient un système magnifique et cohérent pour regarder le monde, et pratiquement magique dans sa capacité prédictive. Ce point de vue a été légèrement perturbé par la découverte de l’irrationalité, c’est-à-dire des nombres qui s’étendent indéfiniment sans jamais se terminer, comme pi et la racine carrée de deux.
Les Grecs de l’Antiquité avaient d’autres qualités particulières dans leur philosophie des mathématiques. Par exemple, ils doutaient de l’existence du zéro, en demandant : Comment rien ne peut-il être quelque chose ? Ils ont même débattu de l’existence de 1, ou s’il s’agissait d’un nombre réel. Ce n’est qu’avec le système de numération hindou-arabe que le zéro moderne a été introduit, y compris sa fonction d’espace réservé à la fin d’un chiffre. Ce fut un pas en avant dans la philosophie des mathématiques ainsi que dans son application pratique.
Il existe de nombreuses écoles de philosophie des mathématiques. Certains exemples contemporains incluent le réalisme mathématique, l’intuitionnisme, le constructivisme, le fictionnalisme et les théories de l’esprit incarné. Celles-ci varient généralement sur un continuum en fonction du degré d’abstraction et d’éternité que l’on pense des mathématiques, par rapport à la manière dont les utilisations et les définitions devraient être contingentes, psychologiques et pragmatiques. Les vieux platoniciens pensaient que les formes mathématiques étaient éternelles et immuables, et nous découvrons de nouveaux théorèmes plutôt que de les inventer.
Certaines écoles modernes de psychologie cognitive suggèrent que notre conception des mathématiques est une conception uniquement humaine, dérivée de notre sens évolué des nombres, et que des conceptions différentes pourraient survenir, par exemple, parmi des extraterrestres ayant une histoire évolutive différente de la nôtre. Aujourd’hui, des milliers de philosophes font carrière dans ce domaine.